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Sin embargo, a diferencia del hamiltoniano, el operador de posición carece de funciones propias adecuadas. El espectro de la posición (en una dimensión) es toda la línea real y se llama espectro continuo. El conjunto de eigenvalues, en este caso, se conoce como el espectro del Hamiltonian. Más precisamente, en una dimensión esta integral se puede escribir Y representa la cantidad de tiempo que el proceso pasa caposino en el punto x en el rango del proceso. La función de densidad de esta distribución se puede escribir como

En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a la distribución por integración. En la teoría de las distribuciones, una función generalizada no se considera una función en sí misma, sino solo cómo afecta a otras funciones cuando se “integra” contra ellos. Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de la notación y no una integral estándar (Riemann o Lebesgue). Para todas las funciones continuas admitidas de forma compacta f. La delta de Dirac no es una función en el sentido tradicional ya que ninguna función definida sobre los números reales tiene estas propiedades.

Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral. Donde ϕ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones. La delta de Dirac se define como “límite distribucional” de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a.